Wiener-Prozess

Wiener-Prozess,

 

Stochastik: einer der wichtigsten stochastischen Prozesse, dessen einfachste (eindimensionale) Version eine Familie (X_t, t ≧ 0) von Zufallsvariablen X_t auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, , P ) mit folgenden Eigenschaften darstellt: 1) Es ist X₀ = 0 und für beliebige n ≧ 2 und beliebige Zeitpunkte 0 < t₁ <. .. < t_n sind die Zufallsvariablen stochastisch unabhängig (Unabhängigkeit). 2) Für alle Zeitpunkte s und t + s hat X_{t + s} — X_s die (von s unabhängige) Normalverteilung mit dem Erwartungswert null und der Varianz t. 3) Die Funktionen t → X_t (ω) mit ω ∈ Ω, die Pfade des Wiener-Prozesses, sind mit der Wahrscheinlichkeit eins stetig.

 

Der Wiener-Prozess wurde 1900 von dem französischen Mathematiker Louis Bachelier (* 1870, ✝ 1946) zur Beschreibung von Schwankungen von Aktienkursen und 1905 von A. Einstein zur Beschreibung der brownschen Bewegung (deshalb mitunter auch als Prozess der brownschen Bewegung oder als brownsche Bewegung bezeichnet) eingeführt und 1923 von N. Wiener eingehend mathematisch analysiert. Der Wiener-Prozess gehört zu zahlreichen Klassen stochastischer Prozesse (z. B. zu den Diffusionsprozessen). Er spielt u. a. bei finanzmathematischen Problemen (gerechte Optionspreise, R. Merton und M. Scholes) und bei der Steuerung stochastischer Prozesse eine Rolle. - Ist (X_t, t ≧ 0) ein Wiener-Prozess, so heisst der stochastische Prozess Y_t:X_t — t X₁ (0 ≦ t ≦ 1), dessen Pfade in der (t, y)-Ebene typischerweise einer Brücke ähneln, eine brownsche Brücke; sie ist in der Statistik von Bedeutung.